P4630 [APIO2018] Duathlon 铁人两项

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闲扯

这是一道圆方树好题，只要注意到这道题的性质，就可以轻松做出。

题面

P4630 [APIO2018] Duathlon 铁人两项

Solution

首先，我们需要注意到一个很关键的性质：在一个点双连通分量中，任意两个点 $u,v$ ，它们之间的简单路径至少有一条通过点 $w$ 。其中 $w$ 是该点双连通分量中的一个点。

那么我们构建出圆方树之后，枚举两个点 $s,f$ ，那么可以作为 $c$ 的点为圆方树上 $s$ 到 $f$ 的路径上所有的方点连接的圆点（不包括 $s,f$ ）。

然后我们进行一个圆方树的常用技巧：赋值操作。

我们将圆点的权值赋值为 $-1$ ，方点的权值赋值为周围的圆点的个数。

这样，将 $s,f$ 路径上的所有点的点权加起来刚好就是符合要求的 $c$ 的个数。

然后，我们就可以用一个简单的 $dp$ 来计算每个点被经过了多少次。

Code

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#include<bits/stdc++.h>
#define del(a,i) memset(a,i,sizeof(a))
#define ll long long
#define inl inline
#define il inl void
#define it inl int
#define ill inl ll
#define re register
#define ri re int
#define rl re ll
#define mid ((l+r)>>1)
#define lowbit(x) (x&(-x))
#define INF 0x3f3f3f3f
using namespace std;
template<class T>il read(T &x){
	int f=1;char k=getchar();x=0;
	for(;k>'9'||k<'0';k=getchar()) if(k=='-') f=-1;
	for(;k>='0'&&k<='9';k=getchar()) x=(x<<3)+(x<<1)+k-'0';
	x*=f;
}
template<class T>il _print(T x){
	if(x/10) _print(x/10);
	putchar(x%10+'0');
}
template<class T>il print(T x){
	if(x<0) putchar('-'),x=-x;
	_print(x);
}
ll mul(ll a,ll b,ll mod){long double c=1.;return (a*b-(ll)(c*a*b/mod)*mod)%mod;}
it qpow(int x,int m,int mod){
	int res=1,bas=x;
	while(m){
		if(m&1) res=(1ll*res*bas)%mod;
		bas=(1ll*bas*bas)%mod,m>>=1;
	}
	return res;
}
const int MAXN = 1e5+5;
int n,m,u,v,sz[MAXN<<1],num;
ll ans;
vector<int> G1[MAXN],G2[MAXN<<1];
il add_edge(int u,int v){
	G1[u].push_back(v);
	G1[v].push_back(u);
}
il add(int u,int v){
	G2[u].push_back(v);
	G2[v].push_back(u);
}
int dfn[MAXN],low[MAXN],stk[MAXN],top,cnt,ver;
il Tarjan(int u){
	dfn[u]=low[u]=++cnt,stk[++top]=u;
	++num;
	for(ri i=0;i<(int)G1[u].size();++i){
		int v=G1[u][i];
		if(!dfn[v]){
			Tarjan(v);
			low[u]=min(low[u],low[v]);
			if(low[v]==dfn[u]){
				++ver;
				for(ri x=0;x!=v;--top){
					x=stk[top],++sz[ver];
					add(ver,x);
				}
				add(ver,u),++sz[ver];
			}
		}
		else
			low[u]=min(low[u],dfn[v]);
	}
}
int siz[MAXN<<1];
il DFS(int u,int fa){
	siz[u]=(u<=n);
	for(ri i=0;i<(int)G2[u].size();++i){
		int v=G2[u][i];
		if(v==fa)
			continue;
		DFS(v,u);
		ans+=2ll*sz[u]*siz[u]*siz[v];
		siz[u]+=siz[v];
	}
	ans+=2ll*sz[u]*siz[u]*(num-siz[u]);
}
int main(){
//	freopen(".in","r",stdin);
//	freopen(".out","w",stdout);
	read(n),read(m),ver=n;
	for(ri i=1;i<=m;++i)
		read(u),read(v),add_edge(u,v);
	for(ri i=1;i<=n;++i)
		sz[i]=-1;
	for(ri i=1;i<=n;++i){
		if(dfn[i])
			continue;
		num=0;
		Tarjan(i),--top;
		DFS(i,0);
	}
	print(ans);
	return 0;
}